Циклические коды

Циклическими кодами называют специальную группу кодов, для построения которых могут быть использованы циклические свойства квадратных матриц, а также коды, которые описываются неприводимыми, образующими (порождающими) многочленами (полиномами). Например, для кодовой комбинации 101101 полиномиальное представление таково: 

A(X) = 1×x⁵ + 0×x⁴ + 1×x³ + 1×x² + 0×x¹ + 1 = x⁵ + x³ + x² + 1. 

Циклические коды относятся к систематическим (n, k) кодам, в которых контрольные r и информационные k разряды расположены на строго определенных местах: n = k + r.

    Рассмотрим алгебру циклических кодов. Допустим, необходимо перемножить три многочлена      (x³+x²+1)·(x³+x+1)·(x+1). Действия производятся также как в обычной алгебре, только сложение проводится по модулю 2.

При делении операция вычитания заменяется операцией сложения по модулю 2. Например, необходимо разделить многочлен седьмой степени на многочлен третей степени       (x⁷+x⁵+x⁴+x+1) / ( x³+x²+1)

Операция деления может быть произведена или в виде многочленов или в виде двоичных кодов.

Схема деления реализуется на регистрах сдвига со встроенными сумматорами по модулю 2. Вид схемы определяется многочленом, на который производится деление. В процессе деления с помощью такого устройства находится остаток.

Пример 5.5.  Построить схему деления на многочлен     g(x)=x³+x+1 (1011)

Рис.5.6. Схема деления на многочлен  g(x)=x³+x+1

 Пусть на вход подается комбинация   10110001

Процесс деления  с помощью устройства показан в таблице 5.1.

  Таблица 5.1

Циклический код получают следующим образом: заданный многочлен h(х) сначала умножается на одночлен х^n-k, затем делится на образующий многочлен g(х). В результате получим

                                                                  (5.3)

или

              F(x) = Q(x) · g(x) = x^n-kh(x) + R(X)                                    (5.4) 

Таким образом, циклический код можно построить умножением кодовой комбинации h(х), являющейся заданной, на одночлен х^n-k добавлением к этому произведению остатка R(х). При декодировании, принятую кодовую комбинацию необходимо разделить на g(x). Наличие остатка указывает на ошибку.

Образующий полином g(х) является сомножителем при разложении двучлена хⁿ+1. Сомножителями разложения двучлена являются неприводимые полиномы (таблица 5.3).

Образующий полином выбирают следующим образом. По заданной кодовой комбинации k определяют число контрольных символов из соотношения  r = log (n + 1)  или по эмпирической формуле

                             r = [log{(k + 1) + [log(k + 1)]}]                                    (5.5)

Соотношение значений n, k, r можно определить по таблице 5.2.

Таблица 5.2 зависимостей между n, k и r

Из таблицы неприводимых полиномов (табл.5.3) выбирают самый короткий многочлен со степенью, равной числу контрольных символов; его и принимают за образующий полином.

Пример 5.6. Пусть требуется закодировать комбинацию вида 1101, что соответствует h(х) = х³ + х² + 1.       По формуле (5.5) определяем число контрольных символов r = 3. Из таблицы 5.3 возьмем многочлен g(х) = х³ + х + 1, т.е. 1011.

Решение:

Умножим h(х) на х^r.

h(x)x^r = (x³ + x² + 1)x³ = x⁶ + x⁵ + x³ ® 11010000

Разделим полученное произведение на образующий полином g(х) 

При делении необходимо учитывать, что вычитание производится по модулю 2. Остаток суммируем с h(х)х^r. В результате получим закодированное сообщение: 

F(x) = (x³ + x² + 1) (x³ + x + 1) = (x³ + x² + 1)x³ + 1 ® 1101001 

В полученной кодовой комбинации циклического кода информационные символы h(х) = 1101, а контрольные R(х) = 001. Закодированное сообщение делится на образующий полином без остатка.

Сообщение, которое закодировано,   является   одной из   комбинаций 4-разрядного кода, так как весь ансамбль сообщений (вся группа) содержит N=16 сообщений. Это значит, что если все сообщения передаются в закодированном виде, то каждое из них необходимо кодировать так же, как и комбинацию h(x) = 1101. Однако выполнять дополнительные 15 расчетов (а в общем случае 2^n-k-1 расчет) нет необходимости. Это можно сделать проще, путем составления образующей (порождающей) матрицы.

Образующая матрица составляется на основе единичной транспонированной, к которой справа дописывается матрица дополнений: 

                         H_n,k = || I_k, C_n,r ||                                              (5.6) 

Матрица дополнений получается из остатков от деления единицы с нулями на образующий многочлен g(x). Комбинации единиц с нулями представляют собой векторы ошибок: 00...01, 00... 10, 00... 1...0 и т.д. Каждому вектору ошибок будет соответствовать свой остаток (опознаватель):

Получено 4 комбинации циклического кода, т.е. столько, сколько информационных разрядов, а так как в 4-разрядном двоичном коде всего N = 2⁴ = 16 комбинаций, то остальные 11 ненулевых комбинаций находятся суммированием по модулю 2 всевозможных сочетаний строк образующей матрицы. Например, необходимо из исходных кодов 1101 и 1010 получить циклические помехозащищенные коды. Они получаются суммированием соответствующих строк образующей матрицы: 

1.       1+3+4 = 1101001;

2.       2+4 = 1010011.